② 概念：有理数是什么，为什么要有负数
0 是那条线
先从 0 开始。0 不是「没有」——存钱罐里 0 元，罐子还在；海拔 0 米，就在海平面上；电梯 0 层，还在楼里；气温 0℃，是一个真实的温度。
0 的作用是当分界线：它在中间，往一边的数叫正数，往另一边的数叫负数。先把这条线立住，后面所有的数才有地方站。
为什么要有负数
只用正数，很多事情写不清楚。温度降到 0℃ 以下多少度？地下车库在第几层？这个月欠了多少钱？吐鲁番盆地比海平面低多少米？
口头上可以说「低 18 度」「欠 300 元」，但写进式子里就没办法算了。有了负数，这些事情都能用一个数说清：-18℃、-1 层、-300 元、-155 米。
而且负数的负号不能省。-1 层写成 1 层，意思正好反过来。
正数和负数怎么定
正数：比 0 大的数，像温度里的「零上」。写法上有个约定——正号可以省略，所以 5 就是 +5。
负数：比 0 小的数，像温度里的「零下」。负号不能省。
0 站在中间：它不比 0 大、也不比 0 小，所以既不是正数也不是负数。
相反意义的量，怎么用正负号记
收入 500 元和支出 300 元，是一对反着来的事；向东跑 3 米和向西跑 3 米，也是一对。
记法只有一步：先约定「哪一边算正」。约定好了，另一边就是负。比如约定「向东记为正」，那么向东 3 米记 +3 米，向西 3 米记 -3 米。
关键是这句话：正号是我们约定出来的，不是数自己长出来的。题目里怎么说，就按题目定的方向记。
有理数到底是什么
把从小到现在见过的数摊在桌上：7、-3、0、二分之一、-0.25、0.6、五分之四、-12。按「是不是整数」分一次，能分成两堆。
整数一堆：7、-3、0、-12。剩下的一堆都能写成两个整数相除的样子，都是分数：二分之一、-0.25（=负四分之一）、0.6（=五分之三）、五分之四。
这两堆合起来，就叫有理数——整数和分数统称有理数。所以上面这 8 个数，全都是有理数。
最容易错的地方：以为「小数要另算一类」。其实 -0.25 等于负四分之一，0.6 等于五分之三，有限小数都能写成分数，都住在「分数」那一盒里。
有理数有两种排法（都对）
就像座位可以按男女生排、也可以按前后排排，同一堆数也能有两种排法。
第一种，按定义分：整数、分数。
第二种，按符号分：正有理数、零、负有理数。
两种都对，只是看的角度不同。要特别记住：第二种排法里，0 自己单独站一类。
一步一步的讲解怎么用
下面进入主体。每一步都是同一套动作：先讲一小段（不超过 120 字）→ 立刻问你一个问题 → 你先在脑子里（或纸上）答一遍 → 再点「看答案」对一对。
为什么非要先答再看？因为「自己说出来」比「读一遍」记得牢得多。答案就在你的手指下面，但请先答完再看。
任何一个位置的答案都不会提前露出来——你觉得答完了，再点开。
③ 一步一步的讲解 · 第一章 有理数（30 步）
从 0 开始，一步不留，走到「有理数的大小比较」和「两点间的距离」。每一步都是一个动作：读一段 → 答一句 → 看答案 → 下一步。
顺序按教材走：正数与负数 → 0 的意义 → 相反意义的量 → 数轴 → 点与数对应 → 相反数 → 绝对值 → 有理数 → 分类 → 大小比较 → 两点间距离。每一个新东西出现之前，都会先讲「为什么需要它」。
第 1 步 · 先站在 0 上
0 不是「没有」：存钱罐里 0 元，罐子还在；海拔 0 米，就在海平面上；电梯 0 层，还在楼里。0 是那条分界线——先把它立住，后面的数才有地方站。
先答一答：想一想：气温 0℃，是「没有温度」吗？
看答案
不是。0℃ 是一个真实的温度，只是它正好在分界线上。0 元是没钱，但罐子还在；0 层还在楼里，不是地下室。0 说的不是「没有」，而是「正好在中间」。
第 2 步 · 比 0 大的数叫正数
为什么需要它：第一步先把「分界线的哪一边」说清楚，否则没法谈正负。
有了 0 这条线，比 0 大的数就叫正数。体温 36.5℃、气温 28℃、存钱罐多出 20 元——它们都在说「有多少、有多高、有多热」。
先答一答：36.5、28、20 这三个数，都比谁大？它们该叫什么数？
看答案
它们都比 0 大，都叫正数。读法上有个约定：正数前面的正号可以省略不写，所以 5 就是 +5、28 就是 +28。
第 3 步 · 判断正数只看一件事
判断一个数是不是正数，只看它比 0 大不大，不看它前面写没写正号。写了正号是正数，没写照样可以是正数。
先答一答：+6、0、-4、二分之一、3.5、-0.7 里面，哪些是正数？（口头说出来就行）
看答案
先把 0 划掉——0 不比 0 大，它不是正数。剩下的逐个和 0 比：+6 是（写作 6）；-4 比 0 小，不是；二分之一是；3.5 是；-0.7 比 0 小，不是。所以正数是 6、二分之一、3.5。
第 4 步 · 比 0 小的数叫负数
为什么需要它：只用正数，很多生活里的事写不进式子，算不了。
温度降到 0 以下、车库在 -1 层、账上欠 300 元、吐鲁番盆地海拔 -155 米——这些都在 0 的另一边。只用正数，这些事只能靠嘴说，没法算。
先答一答：地下车库记作 -1 层。要是把这个负号省掉，写成 1 层，会变成什么？
看答案
会变成地上一层，意思正好反过来。所以负数的负号不能省。负数就是比 0 小的数：-18℃ 表示比 0℃ 低 18℃，-300 元表示欠着 300 元。
第 5 步 · 0 到底算什么
0 不比 0 大，也不比 0 小，所以正数、负数两边都进不去。但它很有用——它是那条分界线。还有一条别忘：0 是整数。
先答一答：判断四句话对不对：① 0 是正数 ② 0 是负数 ③ 0 是有理数 ④ -0 表示负数。
看答案
①错：0 不比 0 大。②错：0 不比 0 小。③对：0 是整数，而整数和分数统称有理数。④错：-0 就是 0。
第 6 步 · 相反意义的量：先定方向
为什么需要它：收入、上升、向东这类「反着来的事」，得有个统一记法，否则一堆数字分不清方向。
收入 500 元和支出 300 元是一对反着来的事；向东跑和向西跑也是。记法只有一步：先约定「哪一边算正」，另一边自然就是负。
先答一答：老师约定「向东记为正」。足球向西跑了 3 米，该记作什么？
看答案
记作 -3 米。向东 3 米记 +3 米，向西是反方向，所以记 -3 米。数字部分一样，符号必须相反。
第 7 步 · 相反意义的量：练一题
这类题的关键动作：先把题目给的约定抄下来，再一个一个对应过去。高低同样大就用同一个数，符号相反。
先答一答：水库规定「比警戒线高记为正」：① 高 1.5 米记什么？② 低 0.8 米记什么？③ 正好在警戒线上记什么？
看答案
① +1.5 米。② -0.8 米。③ 0 米——不高也不低，正好在线上就是 0。
第 8 步 · 数轴：为什么需要它
为什么需要它：光说「往哪边」「差几格」太啰嗦，需要一张图把方向和省距离同时画出来。
电梯按钮、尺子、温度计长得都不一样，却好像有同一个骨架。把「往哪边」和「差几格」画在一张图上，这张图就诞生了。
先答一答：要把「往哪边」和「差几格」都画在同一张图上，最少得先定下哪几样东西？
看答案
三样：① 一个「从哪儿算起」的点——原点（0）；② 一个规定的方向——正方向（一般向右，用箭头标）；③ 一段规定的长度——单位长度（刻度一样长）。三样缺一不可。
第 9 步 · 数轴合格检查
三要素是「同时」要求，不是随便满足两条就行。判定数轴的方法就是逐条对：有没有原点、有没有正方向、刻度是不是一样长。
先答一答：有一条线：有原点 0、有均匀刻度，但没画箭头、也没说哪边是正的。它算数轴吗？
看答案
不算。没有正方向就分不清正负。反过来，只有箭头和刻度、没标 0 也不行——不知道从哪儿算起。所以三条要一条条对。
第 10 步 · 点和数一一对上
数轴画好之后，每个位置都能用一个数说清楚：往右走 30 米是 30，往左走 30 米是 -30，停在起点是 0。反过来也成立。
先答一答：原点左边 4 格那个点表示哪个数？表示 -2.5 的点在原点哪一边、离原点几格？
看答案
左边 4 格是 -4。-2.5 比 0 小，所以在原点左边；数字部分是 2.5，所以离原点 2.5 格——就是 2 格再半格，别凑整成 2 格或 3 格。
第 11 步 · 点和数：再练一题
一条口诀就够用：正负管左右，数字管格子数。带负号的往左，数字是几就走几格。
先答一答：表示 1.5 和表示 -1.5 的两个点，谁在谁右边？它们离原点一样远吗？
看答案
1.5 在右边、-1.5 在左边，所以 1.5 在 -1.5 的右边。两个都离原点 1.5 格，一样远——它们关于原点对称。
第 12 步 · 负数也有大小
数轴上越往左越小。负数都在 0 左边，所以离 0 越远、就越小——这一条和正数正好相反。
先答一答：-9、0、+2、-0.5、七分之三、-100 里，哪些是负数？其中最小的是谁？
看答案
负数是 -9、-0.5、-100（0 不是负数）。三个里 -100 最靠左，所以 -100 最小。注意：不能因为 100 比 9 大，就以为 -9 比 -100 小。
第 13 步 · 相反数是什么
为什么需要它：2 和 -2、3 和 -3 这样的配对在生活里到处出现，需要有个统一的名字。
电梯 2 楼和 -2 楼、温度 3℃ 和 -3℃、收支 +20 元和 -20 元——数字一样，只差一个符号，离 0 一样远。这样的一对，需要一个名字。
先答一答：这样的两个数，你会给它们起什么名字？它们有什么共同点？
看答案
叫相反数。只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。它们在数轴上关于原点对称：离原点一样远，一个在左、一个在右。
第 14 步 · 求相反数就是翻符号
求一个数的相反数，就是把符号翻个个儿，数字部分一个都不动。
先答一答：7、-5、0、二分之一、-1.5 的相反数各是什么？
看答案
-7、5、0、负二分之一、1.5。特别说 0：它只有一个，相反数就是它自己（不是「没有」）。还有一句要说对：不能说「-2 是相反数」，要说「-2 是 2 的相反数」——相反数是成对的。
第 15 步 · 两个负号叠在一起
为什么需要它：负号一多，光数个数容易数错，得知道它到底在说什么。
看到 -(-5)，别急着数负号，先想它在说什么：括号里是 -5，外面那个负号是「取相反数」这个动作。
先答一答：你猜 -(-5) 等于多少？为什么？
看答案
等于 5。做法是一层一层翻：-5 的相反数是 5。想记规律也行：负号个数是偶数，结果为正；奇数，结果为负。但更稳的是逐层翻，不要在脑子里跳步。
第 16 步 · 三个负号怎么办
负号多了，就一层一层往下翻，每翻一次就换一次符号。这样最不容易错。
先答一答：化简 -(-7)、-(+4)、-(-(-3))，结果分别是什么？一个数前面加个负号，它一定是负数吗？
看答案
-(-7) = 7；-(+4) = -4；-(-(-3)) = -3（-3 翻成 3，再翻成 -3）。 不一定：-(-7) 前面加了负号，结果却是正数 7。所以「加负号」只是取相反数这个操作，结果正负要看原来那个数是正是负。
第 17 步 · 绝对值：为什么需要它
为什么需要它：生活里常出现「只问差多远、不问往哪边」的时刻，绝对值就是为这件事发明的。
早上 6 点 -3℃，中午 3℃。妈妈说「这两回一样冷」——她问的是「离 0℃ 差多远」，不问往哪边。这个「有多远」，就是绝对值要抓的东西。
先答一答：只问「离 0 有多远」，-3 和 3 一样吗？生活里还有什么时候你只在乎「差多远」、不在乎「往哪边」？
看答案
一样，都是 3 格。写作 |-3| = 3、|3| = 3。绝对值量的就是距离，而距离天生不分左右、不分正负。生活里：两地相距几公里、电梯下到负几层、欠款还差多少。
第 18 步 · 求绝对值：三种情况
竖线问的是「离 0 有多远」，不是「这个数是几」。分三种情况记最省事：正数照抄、0 还是 0、负数去掉负号。
先答一答：|-7|、|0|、|4.5| 各是多少？三种情况分别怎么处理？
看答案
|-7| = 7，|0| = 0，|4.5| = 4.5。三种情况：正数照抄；0 还是 0；负数去掉负号（也就是取它的相反数）。合起来一句话：结果永远不是负数。
第 19 步 · 求绝对值：一次练五个
算完一定要自查：只要结果里出现负数，就一定是错的。这是最快、最省事的检查办法。
先答一答：求 |-12|、|+8|、|0|、负三分之二的绝对值、一又四分之一的绝对值。
看答案
12、8、0、三分之二、一又四分之一。五个结果里一个负数都没有——这正是自查的标准。易错点：别把「负三分之二的绝对值」写成 -2/3。
第 20 步 · 什么数的绝对值等于它自己
现在反过来问：一个数去掉绝对值符号以后，还是它自己吗？把正数、负数、0 各试一个就知道。
先答一答：什么数的绝对值等于它本身？负数行吗？
看答案
正数和 0，也就是非负数。试一个负数：|-6| = 6，不等于 -6，所以负数不行。0 这一条最容易漏：|0| = 0，它等于自己。
第 21 步 · 绝对值不可能是负数
为什么需要它：这条性质能直接把一些方程判死，考试里省时间。
距离不可能为负，所以任何数的绝对值都不小于 0。这条性质有个直接的用处：看到「绝对值等于负数」，不用算就知道没解。
先答一答：① 已知 |x-2| = 0，x 是几？② |b| = -2 有解吗？
看答案
① x = 2。绝对值等于 0，说明竖线里面正好是 0：x-2 = 0，所以 x = 2。② 没有解。绝对值最小是 0，右边是 -2，比 0 还小，两边永远碰不上。看到「绝对值等于负数」，直接判无解，别动笔解。
第 22 步 · 绝对值和相反数什么时候一样
同一个数，取绝对值和取相反数，有时候结果相同、有时候不同。规律跟这个数是正还是负有关。
先答一答：|-5| 和 -5 的相反数各是多少？|7| 和 7 的相反数各是多少？看出来了吗？
看答案
|-5| = 5，-5 的相反数也是 5——负数这一边两者一样。|7| = 7，7 的相反数是 -7——正数这一边不一样。0 两边都是 0，也一样。最有用的一句：负数的绝对值，就是把它变成相反数。
第 23 步 · 有理数：把数分两大盒
为什么需要它：学到这里，见过的数已经很多，该给它们一个统一的名字了。
把见过的数摊在桌上：7、-3、0、二分之一、-0.25、0.6、五分之四、-12。按「是不是整数」分，能分成两盒。这两盒合起来就是有理数。
先答一答：这 8 个数里，哪些是整数？剩下的那几个有什么共同点？
看答案
整数是 7、-3、0、-12。剩下的 二分之一、-0.25、0.6、五分之四 都能写成两个整数相除的样子，都是分数。整数和分数统称有理数——所以这 8 个数全是有理数。
第 24 步 · 小数别急着排除
为什么需要它：这是初学者最常掉的一个坑。
最容易错的地方在这里：一看到小数，就以为「小数要另算一类」。其实要看它能不能写成分数——能写，就住在分数那一盒。
先答一答：0.75 和 -0.25 是有理数吗？它们分别等于什么分数？
看答案
都是有理数。0.75 等于四分之三，-0.25 等于负四分之一。有限小数都能写成分数，所以都属于有理数。
第 25 步 · 有理数的两种排法
为什么需要它：同一堆数，看的角度不同，排法就不同，两种都对。
就像座位可以按男女生排、也可以按前后排排。数也一样：按定义分（整数/分数），或者按符号分（正、零、负）。两种都对。
先答一答：5、-7、0、二分之一、-四分之三、0.2、-1：按「是不是整数」分一次，再按「正、零、负」分一次，结果一样吗？0 在哪一类？
看答案
不一样。按定义分：整数 5、-7、0、-1；分数 二分之一、-四分之三、0.2。按符号分：正有理数 5、二分之一、0.2；零 0；负有理数 -7、-四分之三、-1。0 在第二种排法里单独站一类，它既不是正有理数也不是负有理数。
第 26 步 · 分完类要自查
分完类别忘了检查：三类加起来，是不是原来那些数、一个不多一个不少。这个动作能挡住大多数漏项。
先答一答：-3、0.5、0、-六分之五、4、-0.02、3.6、-9 按符号分三类，各是哪些数？
看答案
正有理数：0.5、4、3.6；零：0；负有理数：-3、-六分之五、-0.02、-9。检查：3 + 1 + 4 = 8，正好是原来的个数，一个都没漏。
第 27 步 · 一堆数怎么排序
为什么需要它：考试常给一串正负数让排序，硬比容易乱，先分堆最稳。
拿到一堆数要排序，先按「正、0、负」分三堆最省力：正数都在最右边，0 在中间，负数都在左边。大方向定了，再在堆内比。
先答一答：-5、3、0、-1.5、2.5、-0.5 从小到大怎么排？（先说大方向）
看答案
大方向一定是：负数 → 0 → 正数。堆内再比：负数里 -5 小于 -1.5 小于 -0.5；正数里 2.5 小于 3。合起来：-5 < -1.5 < -0.5 < 0 < 2.5 < 3。
第 28 步 · 两个负数怎么比
为什么需要它：负数比大小是第一章最容易错的一类，和正数的直觉正好相反。
负数这一堆里，越靠左越小——也就是「离 0 越远反而越小」，和正数正好反过来。
先答一答：一号冰柜 -5℃、二号冰柜 -2℃，哪个更冷？再比一比 -8 和 -6，谁小？
看答案
-5℃ 更冷，所以 -5 比 -2 小。-8 比 -6 小：|-8| = 8、|-6| = 6，绝对值大的反而小。口诀：两个负数比大小，绝对值大的那个反而小。提醒：一个正一个负时，正数一定更大，不用比绝对值。
第 29 步 · 两点之间隔多远
为什么需要它：数轴上「差多远」是常考题，也最容易和「两数相加」搞混，所以要单独说清。
从图书馆（-3 号桩）走到超市（2 号桩），要走几米？这不是加法题，是「差多远」的题。办法是：两个数相减，再取绝对值。
先答一答：从 -3 到 2 是几个单位长度？（数格子也行）
看答案
5 个单位长度。-3 到 0 是 3 格，0 到 2 是 2 格，3 加 2 等于 5。写成式子：|2-(-3)| = 5。注意 (-3)+2 = -1 是两个数相加的结果，不是距离。
第 30 步 · 距离公式练一练
公式就是「相减再取绝对值」。谁减谁都一样，因为最后取了绝对值。两个点都在 0 左边时，也可以直接数格子。
先答一答：从 -6 到 -2 的距离是多少？
看答案
4。-2 减 (-6) 等于 4，取绝对值还是 4。也可以直接数：从 -6 往右数 4 格就到 -2。距离永远是正的。
④ 到运算 · 第二章 有理数的运算（36 步）
第一章把数摆好，第二章才开始算。顺序是：加法 → 减法 → 加减混合 → 乘法 → 乘法运算律 → 倒数 → 除法 → 乘除混合 → 乘方 → 混合运算顺序 → 科学记数法 → 近似数。
每一步同样是「讲一段 → 答一句 → 看答案」，每道例题都写全步骤，一步都不跳。本页所有算式都用 Python 的 fractions.Fraction（精确分数运算）复核过，复核记录写在同目录的 mr_verify.txt 里。
第 1 步 · 加法：同号相加
为什么需要它：生活里两次「都往下」，需要一条能直接算的规则。
早上比昨天低 2 度记 -2，中午又低了 3 度记 -3。两次都在「降」，方向没变，所以结果还是降——只是降得更深。
先答一答：你觉得 -2 + (-3) 等于多少？那个先加出来的「5」，该带什么号？
看答案
等于 -5。在数轴上从 -2 出发，加的是 -3，就往左再走 3 格，落在 -5。 同号相加两步：① 定符号——照原来的符号（取负）；② 算长度——2 + 3 = 5。写成 (-2) + (-3) = -(2 + 3) = -5。那个 5 只算了「走多长」，加上负号才完整。
第 2 步 · 同号相加：练三题
小数、分数一样做：先定符号，再算长度。两句话就够了，不要跳步。
先答一答：算 (-7) + (-6)、(-1.5) + (-3.5)、(-2) + (-3) + (-4)。
看答案
(-7) + (-6) = -13（符号取负，7 + 6 = 13）。 (-1.5) + (-3.5) = -5（符号取负，1.5 + 3.5 = 5）。 (-2) + (-3) + (-4) = -9（先得 -5，再加 -4，符号还是负，5 + 4 = 9）。
第 3 步 · 加法：异号相加
为什么需要它：一正一负「打架」，得说清结果听谁的。
蜗牛停在 -5，向右爬 8 格。一个往左的数、一个往右的数在「打架」，结果听谁的呢？听绝对值大的那个。
先答一答：-5 + 8 停在 0 的左边还是右边？如果换成 -5 + 3 呢？
看答案
-5 + 8 = 3，停在 0 右边：8 比 5 大，结果取正，8 - 5 = 3。 换成 -5 + 3：5 比 3 大，取负，5 - 3 = 2，得 -2，还在 0 左边。 异号相加两步：① 符号听绝对值大的；② 长度用大的减小的。
第 4 步 · 异号相加：练三题
三题都是一正一负，所以都要先比绝对值，再决定符号，最后相减。
先答一答：算 6 + (-10)、(-12) + 7、(-1.5) + 0.5。
看答案
6 + (-10) = -4（10 大取负，10 - 6 = 4）。 (-12) + 7 = -5（12 大取负，12 - 7 = 5）。 (-1.5) + 0.5 = -1（1.5 大取负，1.5 - 0.5 = 1）。
第 5 步 · 加法的两个特殊情形
为什么需要它：这两条能省掉一大半计算，看到就该用。
从家往东走 300 米到书店，再原路往西走 300 米回家。路上走了 600 米，可位置一点没动——这两件事能同时成立。
先答一答：300 + (-300) 等于多少？那 0 + 40 呢？
看答案
300 + (-300) = 0：方向相反、长短相同，位置正好抵消。只有符号不同、绝对值相同的两个数叫互为相反数，互为相反数相加得 0。 0 + 40 = 40：任何数加上 0 还是它自己，也就是 a + 0 = a。
第 6 步 · 加法可以换位置
为什么需要它：一串数相加，挑好算的配对能省很多力气。
三个数相加，换位置、换先后，和都不变——这叫加法交换律和结合律。好处是：可以挑「好算的配对」先算。
先答一答：(-7) + 12 + (-3)，你会怎么算最省事？
看答案
把同号的凑一起：(-7) + (-3) = -10，再加 12 得 2。按原来的顺序算也得到同一个答案（先 5 再加 -3 得 2）。 省事的三种做法：同号凑一起、互为相反数先抵消、凑整十整百的先加——依据都是同一条：换位置换先后都不改变和。
第 7 步 · 运算律：练两题
这类题的全部技巧就是「先找能凑整的配对」，找到以后用结合律把它们拉到一起。
先答一答：算 (-3.8) + 2.7 + (-6.2) + 7.3，再算 (-24) + 15 + 24。
看答案
第一题：(-3.8) + (-6.2) = -10，2.7 + 7.3 = 10，(-10) + 10 = 0，得 0。 第二题：-24 和 24 互为相反数，先抵消得 0，再加 15 得 15。
第 8 步 · 减法：先变成加法
为什么需要它：减号后面跟着负号，容易看晕；改成加法就全是老办法。
昨天最低 -2℃，今天 5℃。5 - (-2) 问的是「从 -2 走到 5 要走几格」。减号后面还跟着负号，先把它改写成加法最稳。
先答一答：5 - (-2) 等于 7 还是 3？为什么？
看答案
等于 7。从 -2 出发：先往右 2 格到 0，再走 5 格到 5，一共 7 格。用法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，所以 5 - (-2) = 5 + 2 = 7——两个负号相遇就变成加 2。
第 9 步 · 减法：练三题
减法题一律先改加法，改完剩下的就是同号或异号相加，都是刚才练过的动作。
先答一答：算 (-9) - 4、3 - 8、(-6) - (-10)。
看答案
(-9) - 4 = (-9) + (-4) = -13（同号相加）。 3 - 8 = 3 + (-8) = -5（异号，8 大取负）。 (-6) - (-10) = (-6) + 10 = 4（减负变加，10 大取正）。
第 10 步 · 加减混合：先统一成加法
为什么需要它：一串又有加又有减，直接算容易乱，统一成加法再挑配对。
20 - 6 - 8 + 6 这种式子，第一步是把所有减号都改成「加相反数」。变成加法以后，才能随便换位置、随便凑对。
先答一答：改写成加法以后，式子变成什么？里面哪两个数可以先抵消？
看答案
变成 20 + (-6) + (-8) + 6。 -6 和 +6 互为相反数，能先抵消得 0；剩下 20 + (-8) = 12。所以还剩 12 元。
第 11 步 · 加减混合：练两题
统一成加法之后，才可以放心用运算律换位置、挑配对。
先答一答：算 (-8) - (-15) + (-3) - 7，再算 (-2.5) + 3.6 - 4.5 - 1.6。
看答案
第一题：改写为 (-8) + 15 + (-3) + (-7)；把负数凑一起：-8 - 3 - 7 = -18；再加 15 得 -3。 第二题：改写为 (-2.5) + 3.6 + (-4.5) + (-1.6)；配对 (-2.5) + (-4.5) = -7、3.6 + (-1.6) = 2；(-7) + 2 = -5。
第 12 步 · 乘法：符号怎么定
为什么需要它：乘法比加法快，但符号一错全错，所以符号要单独定。
翻牌游戏：红星 +3 分，黑星 -3 分。2 张黑星是 2 × (-3) = -6。第二轮老师说「刚才那两张黑星的扣分全部取消」，写成 (-2) × (-3)——「取消」在符号上就是又翻了一次。
先答一答：(-2) × (-3) 是继续扣分，还是变成加分？为什么？
看答案
变成加分，得 6。办法是数负号的个数：2 × (-3) 只有一个负号（奇数），结果是负；(-2) × (-3) 有两个负号（偶数），结果为正。 法则：两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。
第 13 步 · 乘法符号：练三题
只看符号的时候，动作就是「数负号」：偶数个得正，奇数个得负，不用算数字。
先答一答：先不算结果：(-4) × 5、(-4) × (-5)、(-1) × 2 × (-3) × (-4) 的积是正是负？
看答案
(-4) × 5：1 个负号，奇数，积为负。 (-4) × (-5)：2 个负号，偶数，积为正。 (-1) × 2 × (-3) × (-4)：3 个负号，奇数，积为负。 全算出来是 -20、20、-24。
第 14 步 · 乘法：先定符号，再算数
符号定完，剩下的就是普通乘法。两步的顺序不能颠倒：先定符号，再算绝对值。
先答一答：4 × (-2.5) 等于多少？(-2.5) × (-4) 呢？
看答案
4 × (-2.5) = -10（异号得负，4 × 2.5 = 10），表示一共欠了 10 元。 (-2.5) × (-4) = 10（同号得正，2.5 × 4 = 10）。 分数也一样：三分之二 × (-9) = -6（异号得负，三分之二 × 9 = 6）。
第 15 步 · 乘法：练三题
每题就说两句话：先定符号，再算绝对值。说顺了，题就稳了。
先答一答：算 (-6) × 1.5、(-2.4) × (-5)、(-3) × 三分之二。
看答案
(-6) × 1.5 = -9（异号得负，6 × 1.5 = 9）。 (-2.4) × (-5) = 12（同号得正，2.4 × 5 = 12）。 (-3) × 三分之二 = -2（异号得负，3 × 三分之二 = 2）。
第 16 步 · 乘法运算律与分配律
为什么需要它：找到能凑整的配对，一道题能少写几行。
乘法也有交换律、结合律，还多一条分配律：a × (b + c) = a × b + a × c。分配律最容易错的地方是「只乘第一项」。
先答一答：25 × (-4) × (-7)，你打算先算哪两个？99 × (-3) 能不能把 99 拆成 100 - 1？
看答案
先算 (-4) × (-7) = 28，再乘 25 得 700（先算 25 × (-4) = -100，再乘 -7 也得 700，两种都对）。 99 × (-3) = (100 - 1) × (-3) = 100 × (-3) + (-1) × (-3) = -300 + 3 = -297。
第 17 步 · 运算律：练两题
看到 125 就想 8，看到 99 就想 100——这是这类题的两把常用钥匙。
先答一答：用简便方法算 (-125) × 8 × (-4) 和 (-99) × 6。
看答案
(-125) × 8 = -1000，再乘 (-4)，两个负号得正，结果是 4000。 (-99) × 6 = (-100 + 1) × 6 = (-100) × 6 + 1 × 6 = -600 + 6 = -594。 拆的时候要看清：-99 拆开是 -100 加 1，两部分的符号都要带上。
第 18 步 · 分配律的大坑
分配律最常错在「只乘第一项」，剩下的那一项被漏掉，答案就少一块。
先答一答：用简便方法算 102 × (-5)，你打算怎么拆？结果是多少？
看答案
拆成 100 + 2：102 × (-5) = 100 × (-5) + 2 × (-5) = -500 + (-10) = -510。 如果只乘 100，得 -500，就漏了 -10。另外别忘了 102 与 -5 异号，积一定是负的。
第 19 步 · 倒数：乘积是 1 的两个数
为什么需要它：除法要变成乘法，就得先知道「乘多少能得 1」，所以要有倒数。
2 乘多少得 1？答案是二分之一。-3 乘多少得 1？是负三分之一。这样的一对，需要一个专门的名字。
先答一答：2 和 -3 的倒数分别是什么？0 有倒数吗？
看答案
2 的倒数是二分之一，-3 的倒数是负三分之一。求法：把这个数看成分数，分子分母调个个儿，符号照抄不变。 0 没有倒数——0 乘任何数都得 0，永远凑不出 1。 别和相反数混：倒数看「乘起来是不是 1」，相反数看「加起来是不是 0」。
第 20 步 · 倒数：练三个
检验倒数只有一个办法：把原数和写出的数乘一乘，看是不是等于 1。
先答一答：写五分之四、-6、-1 的倒数，各检验一遍。
看答案
五分之四的倒数是四分之五，检验 五分之四 × 四分之五 = 1。 -6 看成负一分之六，倒数是负六分之一，检验 (-6) × 负六分之一 = 1。 -1 的倒数还是 -1，检验 (-1) × (-1) = 1。 注意：-6 的倒数是负六分之一，不是 6，也不是 -6。
第 21 步 · 除法：变成乘法
为什么需要它：除法算不利索，就把它改成乘法——这是这一节最省力的办法。
几个人合伙买饮料，一共欠 36 元，4 个人平分，写成 (-36) ÷ 4。除法可以改写成乘法：除以一个数，等于乘这个数的倒数，除数不能是 0。
先答一答：(-36) ÷ 4 改写成乘法是什么？结果是多少？(-36) ÷ (-4) 呢？
看答案
(-36) ÷ 4 = (-36) × 四分之一：异号得负，36 ÷ 4 = 9，结果是 -9（每人摊 9 元）。 (-36) ÷ (-4)：同号得正，结果是 9。 规律：两数相除，同号得正、异号得负，再把绝对值相除。另有两条：0 除以任何不等于 0 的数都得 0；除数不能是 0。
第 22 步 · 除法：练三题
流程固定不变：改写乘法 → 定符号 → 算绝对值。三步走完，答案就出来了。
先答一答：算 (-48) ÷ 6、(-2.4) ÷ (-0.6)、负五分之四 ÷ (-8)。
看答案
(-48) ÷ 6 = -8（异号得负，48 ÷ 6 = 8）。 (-2.4) ÷ (-0.6) = 4（同号得正，2.4 ÷ 0.6 = 4）。 负五分之四 ÷ (-8) = 十分之一（同号得正，五分之四 ÷ 8 = 十分之一）。
第 23 步 · 乘除混合：只能从左往右
为什么需要它：乘除是同一级运算，顺序错了答案就变了。
(-12) ÷ 3 × (-2)，有人得 8，有人得 2。乘除是同一级运算，没有括号就必须从左往右依次算。
先答一答：-12 ÷ 3 × (-2) 等于 8 还是 2？如果你真想先算 3 × (-2)，式子该怎么写？
看答案
等于 8。从左往右：(-12) ÷ 3 = -4，(-4) × (-2) = 8（两个负号得正）。 先算 3 × (-2) 的那个做法（得 2）偷偷改了运算顺序。真想先算，必须加括号：(-12) ÷ [3 × (-2)] = (-12) ÷ (-6) = 2。
第 24 步 · 乘除混合：练三题
每一步只管当前这两个数，符号按乘法或除法的法则定，别把后面的数提前拉进来。
先答一答：算 (-24) ÷ (-6) × 2、负四分之三 × 8 ÷ (-2)、(-5) × (-2) ÷ (-10)。
看答案
(-24) ÷ (-6) = 4，4 × 2 = 8。 负四分之三 × 8 = -6，(-6) ÷ (-2) = 3。 (-5) × (-2) = 10，10 ÷ (-10) = -1。
第 25 步 · 乘方：为什么要有它
为什么需要它：同一个数连乘很多次，式子又长又容易写漏，需要更短的写法。
一张纸对折一次 2 层、两次 4 层、三次 8 层。要对折 10 次，难道一直写 2 × 2 × 2……？又长又容易漏。
先答一答：对折 3 次的「2 乘 2 乘 2」，能不能写得更短？写成什么？
看答案
写成 2³，读作「2 的三次方」。 求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；重复出现的数 2 叫底数，数一数有几个 2，个数 3 叫指数。
第 26 步 · 乘方：两个大坑
2³ 表示 3 个 2 相乘，不是 2 乘 3。指数管的是「乘几次」，不是「乘多少」。
先答一答：2³ 等于多少？3² 等于多少？两个一样吗？
看答案
2³ = 2 × 2 × 2 = 8。 3² = 3 × 3 = 9。 两个完全不同：2³ 是三个 2 连乘，3² 是两个 3 连乘。算成 6 的，是把乘方看成了底数乘指数。
第 27 步 · 乘方：练三题
连乘可以两个两个地往上翻，不必一个个写：2、4、8、16、32、64 这样翻上去最快。
先答一答：算 3³、5²、2 的 6 次方。
看答案
3³ = 3 × 3 × 3 = 27。 5² = 5 × 5 = 25（平方就是自己乘自己）。 2 的 6 次方 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64。
第 28 步 · 幂的符号：括号在哪
为什么需要它：括号的位置不同，底数就不同，结果会差一个负号——这是最爱考的一处。
(-2)⁴ 和 -2⁴ 长得几乎一样，结果却一个 16、一个 -16。差别就在：底数到底是谁。
先答一答：你猜 (-2)⁴ 和 -2⁴ 各是多少？为什么不一样？
看答案
(-2)⁴ = 16：括号里底数是 -2，表示 4 个 -2 相乘，负号 4 个是偶数，幂为正。 -2⁴ = -16：底数是 2，负号在括号外面，先算 2⁴ = 16，再取相反数。 规律（底数不为 0）：正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂为正、奇次幂为负。
第 29 步 · 幂的符号：练三题
三件事要分清：底数是几、指数是奇还是偶、负号在括号里还是括号外。
先答一答：算 (-3)³、(-2)⁶、-3²。
看答案
(-3)³ = -27（底数 -3，指数 3 是奇数，负数的奇次幂为负；3 × 3 × 3 = 27）。 (-2)⁶ = 64（指数 6 是偶数，幂为正；2 的 6 次方 = 64）。 -3² = -9（负号在括号外，底数是 3：先算 3² = 9，再取相反数）。
第 30 步 · 混合运算的顺序
为什么需要它：顺序错了，同一道题会有两个答案——所以顺序必须先定死。
一道题把全班分成两派：-6 + 4 × (-3)。有人先算 -6 + 4 得 -2，再乘 -3 得 6；有人先算乘法得 -18。答案不可能都对，问题就出在顺序。
先答一答：按正确的顺序，-6 + 4 × (-3) 该等于多少？顺序是怎么规定的？
看答案
等于 -18。顺序是：① 先算乘方 ② 再算乘除 ③ 最后算加减 ④ 有括号先算括号里面的（先小括号后中括号）。 所以先算 4 × (-3) = -12，再算 -6 + (-12) = -18。
第 31 步 · 混合运算：练两题
每算完一级，就把结果写回式子里——式子会一层层变短，越算越清楚。
先答一答：算 (-2)³ ÷ 4 - 5 × (-2)，再算 8 - 3 × [(-2)² - 6]。
看答案
第一题：先乘方 (-2)³ = -8；( -8) ÷ 4 = -2；5 × (-2) = -10；-2 - (-10) = -2 + 10 = 8。 第二题：先算括号里 (-2)² = 4，4 - 6 = -2；式子变成 8 - 3 × (-2)；3 × (-2) = -6；8 - (-6) = 8 + 6 = 14。
第 32 步 · -2² 和 (-2)² 放一起
这两种写法常被放在同一道题里考，考的就是「负号在括号里还是括号外」。
先答一答：-2² + (-2)² 等于多少？
看答案
等于 0。 -2² 里负号在括号外、底数是 2：先 2² = 4，再取相反数得 -4。 (-2)² 里底数是 -2：两个 -2 相乘得 4。 所以 -4 + 4 = 0。
第 33 步 · 科学记数法
为什么需要它：很大的数数 0 数到眼花，还容易漏写一个 0。
地球到太阳约 150000000 千米。科学记数法把大数写成 a × 10ⁿ，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数——0 省掉了，还能一眼看出它有多大。
先答一答：150000000 的整数部分有几位？你会把它写成几乘 10 的几次方？
看答案
整数部分有 9 位，n = 9 - 1 = 8，写成 1.5 × 10⁸。 两个要点：a 只能有一位整数（在 1 和 9 之间），不能写成 15 × 10⁷；n 等于原数的整数位数减 1，也等于小数点向左移动的位数。
第 34 步 · 科学记数法：练三题
两个方向都要练：把大数写成 a × 10ⁿ，以及反过来把 a × 10ⁿ 还原成大数。
先答一答：用科学记数法表示 36000000 和 512000；再把 4.5 × 10⁶ 写成原来的数。
看答案
36000000 有 8 位整数，n = 7，写成 3.6 × 10⁷。 512000 有 6 位整数，n = 5，写成 5.12 × 10⁵。 4.5 × 10⁶ 就是小数点向右挪 6 位：得 4500000（位数不够先补 0）。
第 35 步 · 近似数与精确度
为什么需要它：量出来的数跟工具有关，得说清「准到哪一位」，否则数字没法比。
同一支笔，粗尺子量出 12.4 厘米，细尺子量出 12.38 厘米。两个都是近似数——跟尺子有多细有关。
先答一答：12.4 精确到哪一位？12.38 精确到哪一位？怎么一眼看出来？
看答案
看最后一位数字落在哪一位：12.4 的末位在十分位，所以精确到十分位（0.1 厘米）；12.38 的末位在百分位，精确到百分位（0.01 厘米）。
第 36 步 · 近似数：四舍五入
保留到哪一位，就看它的后一位是几：满 5 就进 1。先找准那一位，再动手。
先答一答：把 2.345 精确到百分位是多少？把 3.14159 精确到千分位是多少？
看答案
2.345 精确到百分位：百分位上是 4，后一位千分位是 5，满 5 进 1，4 加 1 得 5，所以是 2.35。 3.14159 精确到千分位：千分位上是 1，后一位万分位是 5，进 1 得 3.142。